 |
|
|
|
| |||||
|
 |
© TurkZeka.Com |
 |
VERİLEN CEVAPLAR :
Cevap: 0 Sayilara a,b ve c dersek a + b + c = 6 a^2 + b^2 + c^2 = 8 a^3 + b^3 + c^3 = 5 olarak verilmektedir. a,b ve c''nin x^3 - Ax^2 + Bx - C = 0 üçüncü dereden monik (en büyük dereceli terimin katsayisi 1 olan) denklemin kökleri oldugunu varsayalim. Bu durumda A = a + b + c B = ab + bc + ca C = abc olacaktir. Buradan B = ab + bc + ca = 1/2 [(a + b + c)^2 - (a^2 + b^2 + c^2)] = 14 olacaktir. Bu durumda a,b ve c x^3 - 6x^2 + 14x - C = 0 denkleminin kökleri olmaktadir. Simdi elde ettigimiz bu denklemde a''yi, b''yi ve c''yi yerine koyalim: a^3 - 6a^2 + 14a - C = 0 b^3 - 6b^2 + 14b - C = 0 c^3 - 6c^2 + 14c - C = 0 Eger bu üçdenklemi toplayacak olursak (a^3 + b^3 + c^3) - 6(a^2 + b^2 + c^2) + 14(a + b + c) - 3C = 5 - 6×8 + 14×6 - 3C = 0 elde edilir. Bu durumda C=41/3 olarak bulunur ve üçüncü derece denklem de x^3 - 6x^2 + 14x - 41/3 = 0 halini alir. Eger elde ettigimiz ifadeyi x ile çarparsak x^4 - 6x^3 + 14x^2 - 41x/3 = 0 dördüncü derece ifadesini elde ederiz. Simdi a,b ve c''yi bu dördüncü derece ifadede yerine yazalim: a^4 - 6a^3 + 14a^2 - 41a/3 = 0 b^4 - 6b^3 + 14b^2 - 41b/3 = 0 c^4 - 6c^3 + 14c^2 - 41c/3 = 0 Eger bu üç ifadeyi toplayacak olursak (a^4 + b^4 + c^4) - 6(a^3 + b^3 + c^3) + 14(a^2 + b^2 + c^2) - 41(a + b + c)/3 = 0 ifadesini elde ederiz. Buradan da (a^4 + b^4 + c^4) = 6×5 - 14×8 + (41/3)×6 = 0 olarak bulunmaktadir. Zafer Hüseyin Ergan |
